《复合指数的概率分析方法》

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2007 年1月

引言： 人们经常需要对一些事务的某些复合指数进行估算，以作为决策的依据。这些复合指数可以表示为一些自变指数的一个数学函数。对复合体指数的估算可以通过对自变指数的估算而实现。当自变指数的估算以概率的形式给出时，也可以得出复合体指数的概率估算。本文为此提出一个基于自变指数的复合体指数概率分析方法。通过电脑程序对各种典型的数据进行分析，可以总结出一些有意思的特征。如：对于相加组合，子项分解越细，复合指数概率分布越集中，即估算越准确。

风险估算实例：九十年代初，由芮氏地震等级的发明者Charles Richter合伙创办的Lindval Richter Associates地震工程咨询公司开发了一套美国加州地区地震风险预测的软件系统。这套系统收集了加州地区所有地震带和地震断层的地质数据，以及沿着地震带的每一点在未来若干年发生若干级地震的概率分布数据，根据地震波在各种地质结构的地壳传播的数学模型，可以计算出任何地方未来若干年由地震引发一定的地面水平运动加速度的概率。而这一总体概率是有所有附近的地震断层及其分段所贡献的概率复合而成的。

项目估算实例：某软件公司接到一个开发项目，需要进行成本及进度等指标的估算。开发团队把整个项目分解成树状结构的子任务集合。各项目成员通过分析给出各个子任务的概率估计。如：某一子任务所需要的人力最乐观的估计是8个人日，最悲观的估计是11个人日。通过子任务的概率分布假定，可以分析出总体项目所需要的总人力的概率分布。这一分析结果对于开发团队有效管理该开发任务提供一个重要的参考依据。有意思的是：作为项目经理及架构师可以比一般的开发工程师对估算有几倍或更大的精确度及自信度。

本复合指数概率分析方法的数学理论表述如下：

定义1：，如果某一事务可以通过某一个定量化的指数t来描述，则称该事务为可定量的。t的数值范围称为该指数的指数空间。如果该指数具有某一数值是随机的，则称其为随机的。如果该指数对其指数空间有确定的概率分布，则称其为概率确定的。

定义2：如果两个随机事务的指数之间没有任何数学关系，即不能通过某种确定的方法根据一个事务的指数的特征去确定另一个事务的指数的特征，则称该两个指数为数学不相关。

定义3：设 Ci及ti (i=1,…, N, N＞0) 为一组事务及其指数，通过某种数学关系

t = f(t1, t2, …, tN)

所的得到的指数称为通过该数学关系建立的组合指数，对应于通过该数学关系建立的组合事务。表示为

C = f(C1, C2, …, CN)

如果该数学关系为相加关系，即t = Σti，则该组合称为相加组合。

定义4：如果一个事务及其指数可以被分解成一组子事务及其指数，使得该事务及其指数为该组子事务及其指数的组合，则称该事务及其指数为可分解事务。

相加组合事务之交换律及结合律: 设C1，C2及C3为三个具有相同的指数空间的事务，则

C1 + C2 = C2 + C1

(C1 + C2) + C3 = C1 + (C2+ C3)

组合事务随机原理：设 Ci (i=1,…, N, N＞0) 为一组事务，C为其组合事务。设其中一个子项Ck与其他子项均为数学不相关。如果Ck为随机的，则C也为随机的。

 组合事务概率原理及计算方法: 设Ci (i=1,…, N, N＞0) 为一组事务，C为其组合事务，设所有事务之间均互为数学不相关，如果所有事务为概率确定的，则C也为概率确定的。

设pi(t)为Ci对于指数t的概率分布函数，则针对特定的指数组合{t1, t2, …, tN}发生的概率为:

p(t1, t2, …, tN) = ∏i pi(ti)

设p(t)为对于组合指数t的概率分布函数，则它是p(t1, t2, …, tN)对满足组合指数数学关系t = f(t1, t2, …, tN)的指数空间{t1, t2, …, tN}的积分，即：

p(t) = Σ{t1, t2, …, tN} p(t1, t2, …, tN)|t = f(t1, t2, …, tN)

相加指数概率分布集中化原理： （未完待续）

大意为：相加组合的复合指数的概率分布相对于子项指数的概率分布有集中化趋势，即估算相对准确度更高。且子项分解越细，复合指数概率分布越集中。

计算分析：通过电脑程序对各种典型的数据进行分析，可以总结出一些有意思的特征。

如：相加组合的复合指数的概率分布分析。如下图所示，对于10个子项的相加指数的概率估算可以比单个子项的估算精确度提高3倍左右。相应的也可以得到趋势分析的一些数据：对于组合个数为5，10，20，40，精确度分别提高2，3，4，5倍左右。