《比赛胜率分析方法》

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问题 ：甲方和乙方乒乓球比赛平时十局的战绩是甲方胜六局输四局。如果要进行三局两胜的比赛，赛前判断甲方取胜的几率是多少？

附加问题 ：如果是五局三胜，七局四胜又如何？推广到 2n+1 局 n+1 胜又如何？

提示 ：要先知道甲方每一局取胜的几率是多少，然后穷举分析所有赛局的可能性。
1） 三局两胜的情况较容易，初中数学水平即可。
2） 五局三胜和七局四胜的情况稍难。用穷举法仍然可行。
3） 推广到 2n+1 局 n+1 胜要借助公式推导，可借助电脑计算。要求高中以上水平。

答案： 每一局取胜的几率是 p = 6/10 = 0.6

2n+1 局 n+1 胜 的几率是

P(2n+1,n+1) = Σ (m=0 to n) PWL(n+1,m) = Σ (m=0 to n) N(n+1,m)*[p**(n+1)]*(1-p)*m
N( n+1,m) = C(n+1+m,n+1) – Σ (m=0 to n-1) N(n+1,i)

PWL(n+1,m) 为所有胜 n+1 局输 m 局的几率。
N(n+1,m) 为所有胜 n+1 局输 m 局的可能组合数。
C( i,j ) 为 i 取 j 的组合数 ( i ≥ j ≥ 0) 。

一局一胜 : n = 0, P(1,1) = 0.6

P( 1,1) = N(1,0)*p = p

三局两胜 : n = 1, C(3,2) = 3 ， P(3 ， 2) = 0.65

P(3,2) = N(2,0)*p**2 + N(2,1)*(p**2)*(1-p) = (p**2) + 2*(p**2)*(1-p)
N(2,0) = 1: WW
N(2,1) = 2: LWW, WLW

五局三胜 : n = 2, C(5,3) = 10, P(5 ， 3) = 0.68

P(5,3) = N(3,0)*p**3 + N(3,1)*(p**3)*(1-p) + N(3,2)*(p**3)*(1-p)**2
N(3,0) = 1: WWW
N(3,1) = 3: LWWW, WLWW, WWLW
N(3,2) = 6: LLWWW, LWLWW, LWWLW, WLLWW, WLWLW, WWLLW

七局四胜 : n = 3, C(6,4) = 15, C(7,4) = 35, P(7 ， 4) = 0.70

P(7,4) = N(4,0)*(p**4)+N(4,1)*(p**4)*(1-p)+N( 4,2)*(p**4)*(1-p)**2+N(4,3)*(p**4)*(1-p)**3
N(4,0) = 1: WWWW
N(4,1) = 4: LWWWW, WLWWW, WWLWW, WWWLW
N(4,2) = 10:LLWWWW, LWLWWW, LWWLWW, LWWWLW //输前一局
WLLWWW, WLWLWW, WLWWLW //胜前一局
WWLLWW, WWLWLW, //胜前两局
WWWLLW //胜前三局
N(4,3) = 20:LLLWWWW,LLWLWWW,LLWWLWW,LLWWWLW, //输前两局
LWLLWWW,LWLWLWW,LWLWWLW,LWWLLWW,LWWLWLW,LWWWLLW,
WLLLWWW,WLLWLWW,WLLWWLW,WLWLLWW,WLWLWLW,WLWWLLW,
WWLLLWW, WWLLWLW,WWLWLLW,WWWLLLW //胜前两局

总结: 比赛场数越多，强队的胜率越大。

提示：赌场上，庄家胜率稍大，玩家久赌必输。